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% 定义新的带灰色背景的说明环境 zremark
\newmdtheoremenv[
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  linecolor=gray!10
]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{15.3 习题}
\author{张志聪}
\maketitle

\section*{15.3.1}

因为部分和有以下关系：
\begin{align*}
  \sum\limits_{n = 0}^N (a_{n + 1} - a_n)b_n + \sum\limits_{n = 0}^N a_{n + 1}(b_{n + 1} - b_n)
   & = - a_0b_0 + a_Nb_N
\end{align*}

由题设可知，等式右侧
\begin{align*}
  \lim\limits_{N \to \infty} - a_0b_0 + a_Nb_N = - a_0b_0 + AB
\end{align*}

因为级数$\sum\limits_{n = 0}^\infty (a_{n + 1} - a_n)b_n$收敛可知，
部分和
\begin{align*}
  \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^N (a_{n + 1} - a_n)b_n
\end{align*}
收敛。

我们有
\begin{align*}
  \sum\limits_{n = 0}^N a_{n + 1}(b_{n + 1} - b_n) = - a_0b_0 + a_Nb_N - \sum\limits_{n = 0}^N (a_{n + 1} - a_n)b_n
\end{align*}

于是利用定理6.1.19可知，级数$\sum\limits_{n = 0}^\infty a_{n + 1}(b_{n + 1} - b_n)$收敛，
且
\begin{align*}
  \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^N a_{n + 1}(b_{n + 1} - b_n)
   & = \lim\limits_{N \to \infty} (- a_0b_0 + a_Nb_N) - \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^N (a_{n + 1} - a_n)b_n \\
   & = AB - a_0b_0 - \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^N (a_{n + 1} - a_n)b_n
\end{align*}

\end{document}